Объем тетраэдра по высоте. Объем тетраэдра

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и точку D , не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединим отрезками эту точку с вершинами треугольника ABC . В результате получим треугольники ADC , CDB , ABD . Поверхность ограниченная четырьмя треугольниками ABC , ADC , CDB и ABD называется тетраэдром и обозначается DABC .
Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются его гранями.
Стороны данных треугольников называют ребрами тетраэдра. А их вершины – вершинами тетраэдра

Тетраэдр имеет 4 грани , 6 ребер и 4 вершины .
Два ребра, которые не имеют общей вершины, называются противоположными.
Зачастую для удобства, одну из граней тетраэдра называют основанием , а оставшиеся три грани боковыми гранями.

Таким образом, тетраэдр – это простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника.

Но также верно и утверждение, что любая произвольная треугольная пирамида является тетраэдром. Тогда также верно, что тетраэдром называют пирамиду, в основании которой лежит треугольник.

Высотой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой, расположенной на противоположной грани и перпендикулярный к ней.
Медианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани.
Бимедианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет середины скрещивающихся ребер тетраэдра.

Так как тетраэдр – это пирамида с треугольным основанием, то объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле

• S – площадь любой грани,
• H – высота, опущенная на эту грань

Правильный тетраэдр – частный вид тетраэдра

Тетраэдр, у которого все грани равносторонние треугольник называется правильным.
Свойства правильного тетраэдра:

• Все грани равны.
• Все плоские углы правильного тетраэдра равны 60°
• Так как каждая его вершина является вершиной трех правильных треугольников, то сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°
• Любая вершина правильного тетраэдра проектируется в ортоцентр противоположной грани (в точку пересечения высот треугольника).

Пусть нам дан правильный тетраэдр ABCD с ребрами равными a . DH – его высота.
Произведем дополнительные построения BM – высоту треугольника ABC и DM – высоту треугольника ACD .
Высота BM равна BM и равна
Рассмотрим треугольник BDM , где DH , являющаяся высотой тетраэдра также и высота данного треугольника.
Высоту треугольника, опущенную на сторону MB можно найти, воспользовавшись формулой

, где
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Подставим эти значения в формулу высоты. Получим


Вынесем 1/2a. Получим

Применим формулу разность квадратов

После небольших преобразований получим


Объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле
,
где ,

Подставив эти значения, получим

Таким образом формула объема для правильного тетраэдра

где a –ребро тетраэдра

Вычисление объема тетраэдра, если известны координаты его вершин

Пусть нам даны координаты вершин тетраэдра

Из вершины проведем векторы , , .
Для нахождения координат каждого из этих векторов вычтем из координаты конца соответствующую координату начала. Получим

Определение тетраэдра

Тетраэдр – простейшее многогранное тело, гранями и основанием которого являются треугольники.

Онлайн-калькулятор

Тетраэдр имеет четыре грани, каждая их которых образована тремя сторонами. Вершин у тетраэдра четыре, из каждой выходит по три ребра.

Данное тело разделяется на несколько видов. Ниже приведена их классификация.

1. Равногранный тетраэдр - у него все грани являются одинаковыми треугольниками;
2. Ортоцентрический тетраэдр - все высоты, проведенные из каждой вершины на противолежащую грань, являются одинаковыми по длине;
3. Прямоугольный тетраэдр - ребра, исходящие из одной вершины, образуют друг с другом угол в 90 градусов;
4. Каркасный ;
5. Соразмерный ;
6. Инцентрический .

Формулы объема тетраэдра

Объем данного тела можно найти несколькими способами. Разберем их более подробно.

Через смешанное произведение векторов

Если тетраэдр построен на трех векторах с координатами:

A ⃗ = (a x , a y , a z) \vec{a}=(a_x, a_y, a_z) a = (a x ​ , a y ​ , a z ​ )
b ⃗ = (b x , b y , b z) \vec{b}=(b_x, b_y, b_z) b = (b x ​ , b y ​ , b z ​ )
c ⃗ = (c x , c y , c z) \vec{c}=(c_x, c_y, c_z) c = (c x ​ , c y ​ , c z ​ ) ,

тогда объем этого тетраэдра это смешанное произведение этих векторов, то есть такой определитель:

Объем тетраэдра через определитель

V = 1 6 ⋅ ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ V=\frac{1}{6}\cdot\begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end{vmatrix} V = 6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ a x ​ b x ​ c x ​ ​ a y ​ b y ​ c y ​ ​ a z ​ b z ​ c z ​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

Задача 1

Известны координаты четырех вершин октаэдра. A (1 , 4 , 9) A(1,4,9) A (1 , 4 , 9 ) , B (8 , 7 , 3) B(8,7,3) B (8 , 7 , 3 ) , C (1 , 2 , 3) C(1,2,3) C (1 , 2 , 3 ) , D (7 , 12 , 1) D(7,12,1) D (7 , 1 2 , 1 ) . Найдите его объем.

Решение

A (1 , 4 , 9) A(1,4,9) A (1 , 4 , 9 )
B (8 , 7 , 3) B(8,7,3) B (8 , 7 , 3 )
C (1 , 2 , 3) C(1,2,3) C (1 , 2 , 3 )
D (7 , 12 , 1) D(7,12,1) D (7 , 1 2 , 1 )

Первым шагом является определение координат векторов, на которых построено данное тело.
Для этого необходимо найти каждую координату вектора путем вычитания соответствующих координат двух точек. Например, координаты вектора A B → \overrightarrow{AB} A B , то есть, вектора, направленного от точки A A A к точке B B B , это разности соответствующих координат точек B B B и A A A :

A B → = (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9) = (7 , 3 , − 6) \overrightarrow{AB}=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6) A B = (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

A C → = (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9) = (0 , − 2 , − 6) \overrightarrow{AC}=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, -2, -6) A C = (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
A D → = (7 − 1 , 12 − 4 , 1 − 9) = (6 , 8 , − 8) \overrightarrow{AD}=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -8) A D = (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

Теперь найдем смешанное произведение данных векторов, для этого составим определитель третьего порядка, при этом принимая, что A B → = a ⃗ \overrightarrow{AB}=\vec{a} A B = a , A C → = b ⃗ \overrightarrow{AC}=\vec{b} A C = b , A D → = c ⃗ \overrightarrow{AD}=\vec{c} A D = c .

∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ = ∣ 7 3 − 6 0 − 2 − 6 6 8 − 8 ∣ = 7 ⋅ (− 2) ⋅ (− 8) + 3 ⋅ (− 6) ⋅ 6 + (− 6) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6) ⋅ (− 2) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8) = 112 − 108 − 0 − 72 + 336 + 0 = 268 \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end{vmatrix}=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6)\cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\cdot(-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ a x ​ b x ​ c x ​ ​ a y ​ b y ​ c y ​ ​ a z ​ b z ​ c z ​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

То есть, объем тетраэдра равен:

$V=61\cdot |$

Ответ

$44.8\text{см 3 .}$

Формула объема равногранного тетраэдра по его стороне

Эта формула справедлива только для вычисления объема равногранного тетраэдра, то есть такого тетраэдра, у которого все грани являются одинаковыми правильными треугольниками.

Объем равногранного тетраэдра

$V=12\sqrt{2\cdot a^3}$

a a a - длина ребра тетраэдра.

Задача 2

Определить объем тетраэдра, если дана его сторона, равная $11\text{см .}$

Решение

$a=11$

Подставляем a a a в формулу для объема тетраэдра:

$V=12\sqrt{2\cdot a^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{см 3}}}}}$

Ответ

$156.8\text{см 3 .}$

Примечание . Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия, задачи о пирамиде). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение . Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√" . Правильный тетраэдр - это правильная треугольная пирамида у которой все грани являются равносторонними треугольниками.

У правильного тетраэдра все двугранные углы при рёбрах и все трёхгранные углы при вершинах равны

У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 ребер.

Основные формулы для правильного тетраэдра приведены в таблице.

Где:
S - Площадь поверхности правильного тетраэдра
V - объем
h - высота, опущенная на основание
r - радиус вписанной в тетраэдр окружности
R - радиус описанной окружности
a - длина ребра

Практические примеры

Задача .
Найдите площадь поверхности треугольной пирамиды, у которой каждое ребро равно √3

Решение .
Поскольку все ребра треугольной пирамиды равны - она является правильной. Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды равна S = a 2 √3 .
Тогда
S = 3√3

Ответ : 3√3

Задача .
Все ребра правильной треугольной пирамиды равны 4 см. Найдите объем пирамиды

Решение .
Поскольку в правильной треугольной пирамиде высота пирамиды проецируется в центр основания, который одновременно является центром описанной окружности, то

AO = R = √3 / 3 a
AO = 4√3 / 3

Таким образом, высота пирамиды OM может быть найдена из прямоугольного треугольника AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √(32/3)
OM = 4√2 / √3

Объем пирамиды найдем по формуле V = 1/3 Sh
При этом площадь основания найдем по формуле S = √3/4 a 2

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V = 16√2 / 3

Ответ : 16√2 / 3 см

Из основной формулы для объёма тетраэдра

где S – площадь любой грани, а H – опущенная на нее высота, можно вывести еще целый ряд формул, выражающих объём через различные элементы тетраэдра. Приведем эти формулы для тетраэдра ABCD .

(2) ,

где ∠ (AD ,ABC ) – угол между ребром AD и плоскостью грани ABC ;

(3) ,

где ∠ (ABC ,ABD ) – угол между гранями ABC и ABD ;

где |AB ,CD | – расстояние между противоположными ребрами AB и CD , ∠ (AB ,CD ) – угол между этими ребрами.

Формулы (2)–(4) можно использовать для нахождения величин углов между прямыми и плоскостями; особенно полезна формула (4), с помощью которой можно находить расстояние между скрещивающимися прямыми AB иCD .

Формулы (2) и (3) аналогичны формуле S = (1/2)ab sin C для площади треугольника. Формуле S = rp аналогична формула

где r – радиус вписанной сферы тетраэдра, Σ – его полная поверхность (сумма площадей всех граней). Имеется и красивая формула, связывающая объём тетраэдра с радиусом R его описанной сферы (формула Крелле ):

где Δ – площадь треугольника, стороны которого численно равны произведениям противоположных ребер (AB × CD , AC × BD ,AD × BC ). Из формулы (2) и теоремы косинусов для трехгранных углов (см. Сферическая тригонометрия) можно вывести формулу, аналогичную формуле Герона для треугольников.